Cos'è teorema dei residui?

Il teorema dei residui è un teorema fondamentale dell'analisi complessa. Esso fornisce una relazione tra l'integrale di una funzione complessa lungo un cammino chiuso e la somma dei residui della funzione all'interno di una regione racchiusa da quel cammino.

Il teorema stabilisce che se f(z) è una funzione analitica (cioè differenziabile in ogni punto) ad eccezione di un certo numero finito di punti isolati all'interno di una regione chiusa, e se C è un cammino chiuso all'interno di quella regione che non passa attraverso alcun punto singolare, allora:

∫f(z)dz = 2πi * somma dei residui di f(z) all'interno di C,

dove ∫ denota l'integrale lungo il cammino chiuso C.

Il residuo di una funzione complessa f(z) in un punto singolare z0 è definito come il coefficiente che moltiplica (z - z0)^-1 nella serie di Laurent che rappresenta la funzione nella vicinanza di z0. Il significato geometrico del residuo è che esso rappresenta la "parte singolare" della funzione f(z) in quel punto.

Il teorema dei residui è ampiamente utilizzato nella risoluzione di integrali complessi e per calcolare la somma di alcune serie complesse. Inoltre, può essere utilizzato per determinare il numero di zeri di una funzione all'interno di una regione chiusa, contando i residui all'interno di quella regione.

Il teorema dei residui è uno dei pilastri dell'analisi complessa e trova numerose applicazioni in diverse aree della matematica, fisica e ingegneria.